Exkurs Graphische Ermittlung eines Durchschnitts

Zum Mitmachen

Nehmen Sie ein Geodreieck und einen Taschenrechner zur Hand. Drucken Sie die Seite aus und messen sie den Winkel und die Strecken in Abbildung 1 nach. Machen Sie sich die Mühe! Es lohnt sich, denn es lässt sich - nicht nur hier, sondern sehr oft - gewinnbringend einsetzen, wenn man aus einem Diagramm auf den ersten Blick Durchschnittswerte ablesen kann.

Abbildung 1

Um Frage 1. zu beantworten, zeichnet man einen Strahl durch den Ursprung zum Punkt P. Von dort fällt man das Lot auf die Abszisse, so dass ein rechtwinkliges Dreieck 0BP entsteht. Der Tangens (Gegenkathete/Ankathete) des rot dargestellten Winkels liefert das Ergebnis. Messen und rechnen Sie es nach. Der Winkel misst 42°. Der Tangens beträgt 0.900 (= tan(42)): \({Y \over X} = {{57} \over {63}} = 0,905\). Die kleine Differenz ist auf die nicht vermeidbare Ungenauigkeit in der Messung des Winkels und der Strecken im Diagramm zurückzuführen.

Machen Sie sich mithilfe von Abb. 1 klar:

Für P und Q ermittelt man gleich hohe Durchschnittswerte.
Daraus folgt sofort: Auf einer Geraden durch den Ursprung ändern sich die Werte von x und y zueinander proportional. d. h., wenn der x-Wert verdoppelt wird, verdoppelt sich auch der y-Wert. Das bedeutet auch: Wenn der Wert von x um 1 % erhöht wird, dann steigt auch der Wert von y um 1 %. Die Gerade durch den Ursprung besitzt also eine konstante Elastizität von 1. Ihre Steigung spielt dabei keine Rolle (Ausnahme: sie verläuft waagerecht oder senkrecht).
Ohne zu messen kann man auf den ersten Blick feststellen, dass der Durchschnittswert y/x in R größer ist als in P (und in jedem anderen Punkt auf der Gerade).

Abbildung 2

Um die Steigung der Kurve im Punkt zu bestimmen, legt man eine Tangente in P an die Kurve und konstruiert ein rechtwinkliges Dreieck wie ABC. Die Steigung (59/63=0,936) entspricht dem Tangens (0,933) des rot eingezeichneten Winkels (43°). Die kleine Ungenauigkeit ist auf Messfehler beim Winkel und den Strecken zurückzuführen.

Abbildung 3

Das Gefahrzeichen Steigung (§ 40 StVO) mit der Angabe 10 % informiert den Betrachter, dass die Straße auf eine Entfernung E um H = 0,1E ansteigt. Den Wert 0,1 (bzw. 10 %) würde man gerade dann ermitteln, wenn man den Tangens des Winkels a bestimmt. Das Verkehrszeichen übertreibt die Steigung allerdings maßlos: a hat knapp 27° und die auf dem Verkehrszeichen dargestellte Steigung beträgt damit etwa 50 %.
Und was hat das nun mit dem Durchschnitt zu tun? Ganz einfach: im Durchschnitt entfällt auf einen Meter ein Anstieg von einem Dezimeter (\(tan(a) = \frac {H} {E}\)).