Übungsaufagben
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Inzwischen besitzen wir zwei wichtige Informationen über die (Modell-)Haushalte: Wir wissen zum einen, was sie sich leisten können. Zum zweiten ist uns bekannt, was sie sich wünschen. Beides können wir grafisch darstellen: Was sie sich leisten können, bilden wir im Güterraum mit der Budgetrestriktion ab. Was sie sich wünschen, können wir im gleichen Diagramm mithilfe von Indifferenzkurven darstellen. Um zu sehen, wie sie sich ihre Wünsche unter der Budgetrestriktion bestmöglich erfüllen, müssen die beiden Aspekte nur noch zusammengeführt werden.

Dazu Interner Linkgreifen wir das Zahlenbeispiel wieder auf, das wir bei der Konstruktion der Budgetgeraden eingesetzt haben. Der Haushalt kann mit einem Einkommen E in Höhe von 1000 EUR die Güter X und Y kaufen, die 5 bzw. 4 EUR pro Stück kosten. Die Budgetrestriktion, Interner Linkdie wir ermittelt hatten, ist hier in Abbildung 1 noch einmal wiedergegeben. Das Güterbündel R könnte der Haushalt mit seinem Einkommen gerade bezahlen; S könnte er sich leisten, ohne sein Einkommen voll zu verausgaben, und zum Erwerb des Güterbündels Q würden die 1000 EUR Einkommen nicht ausreichen.

Abbildung 1

Die gelbe Fläche zeigt die Budgetrestriktion des Haushalts mit einem Einkommen in Höhe von 1000 EUR, der das Gut X zum Preis von 5 EUR und das Gut Y zum Preis von 4 EUR erwerben kann.

Wir wollen annehmen, dass der Haushalt über die Güter Präferenzen besitzt, die sich mithilfe der Nutzenfunktion U=XY abbilden lassen. Dies ist die Interner Linkgleiche Nutzenfunktion, die wir im Käsebrötchen-Bier-Beispiel gefunden hatten und für die wir bereits Indifferenzkurven konstruiert haben. In Abbildung 2 sind drei ausgewählte Indifferenzkurven für diese Nutzenfunktion eingezeichnet. Die Indexwerte der Kurven in der maßstabsgetreuen Abbildung sind 5.000, 12.500 und 20.000.

Abbildung 2

Abb. 2

Ausgewählte Indifferenzkurven für die Nutzenfunktion U=XY.

Die Präferenzen des Haushalts hätten wir z. B. auch mit der Nutzenfunktion U=(XY)0,5 abbilden können. Hätten wir diese Funktion eingesetzt, hätten wir für die Nutzenindexwerte von 70,71, 111,80 und 141,42 eine identische Abbildung erhalten.

Mit der Nutzenfunktion U=(XY)0,5 gilt für beide Güter das Interner Link1. Gossensche Gesetz, denn die zweiten partiellen Ableitungen sind jeweils negativ. Dieselben Präferenzen werden aber auch durch U=XY abgebildet. Gilt das 1. Gossensche Gesetz auch für diese Nutzenfunktion?

 

Nun bringen wir die beiden Gedanken, was der Haushalt möchte und was er sich leisten kann, zusammen, indem wir die beiden Diagramme aus Abbildung 1 und 2 einfach übereinander legen (s. Abb. 3). Die Indifferenzkurve I3 würde der Haushalt gerne erreichen (denn sie zeigt von den drei eingezeichneten Indifferenzkurven den höchsten Nutzen an), aber die Budgetrestriktion erlaubt es ihm nicht. Die höchste erreichbare Indifferenzkurve ist offenbar jene, die die Budgetgerade tangiert. Dabei stellt die Interner LinkAusgewogenheitsannahme (Konvexität der Indifferenzkurven; abnehmende Grenzrate der Substitution) sicher, dass es einen eindeutigen Tangentialpunkt gibt.

Abbildung 3

Abb. 3

Durch Zusammenbringen von Budgetrestriktion und Indifferenzkurven erhält man die Information, welche Wünsche sich der Haushalt bei gegebenen Preisen und Einkommen erfüllen kann.

In Abbildung 4 ist der Tangentialpunkt gekennzeichnet. Der Haushalt erreicht den größtmöglichen Nutzen, wenn er sein Einkommen für das Güterbündel P ausgibt, also 100 X und 125 Y kauft - wie man aus der Grafik mit der "Methode des scharfen Hinsehens" ermitteln kann. Dieses Güterbündel bzw. der Punkt P heißt Haushaltsoptimum oder Haushaltsgleichgewicht.

Abbildung 4

Abb. 4

Der Haushalt ist im Gleichgewicht, wenn er das Güterbündel P konsumiert.

Im GlossareintragHaushaltsgleichgewicht (oder -optimum) stimmen die Steigungen von Budgetgerade und Indifferenzkurve überein.

Das nächste Weihnachten kommt bestimmt ...

Überlegen Sie mithilfe des Konzepts des Haushaltsgleichgewichts, warum ein Externer LinkGeldgeschenk in der Regel (und unter den getroffenen Annahmen) mehr Freude bereitet als ein Sachgeschenk.

Lösung Interner LinkNeues Fenster

Andernfalls wäre P kein Tangential-, sondern ein Schnittpunkt. Die (absolute) Steigung der Indifferenzkurve hatten wir im vorigen Abschnitt als Verhältnis der Grenznutzen von X und Y ermittelt (Interner Links. dort Abb. 6 und Interner LinkGleichung [5]). Die (absolute) Steigung der Budgetgeraden entspricht dem Preisverhältnis der Güter X und Y (s. Abb. 4). Also gilt im Haushaltsgleichgewicht, dass das Verhältnis der Grenznutzen der beiden Güter ihrem Preisverhältnis entspricht. Diese Aussage gilt auch für den n-Güter-Fall, so dass sich allgemein formulieren lässt:

Im Haushaltsoptimum entspricht das Grenznutzenverhältnis je zweier Güter ihrem Preisverhältnis.

Da das Grenznutzenverhältnis der negativen umgekehrten Grenzrate der Substitution entspricht, gilt auch:

Die (absolute) Grenzrate der Substitution entspricht im Haushaltsgleichgewicht dem umgekehrten Preisverhältnis der Güter.

Das sind ungewohnt klingende und schwer zu begreifende Aussagen. Aber ein Gegenbeispiel macht deutlich, dass es so sein muss. Dazu betrachten wir in Abbildung 5 einen Fall, in dem der Haushalt sich in Punkt R nicht im Gleichgewicht befindet. Das Verhältnis der Grenznutzen stimmt nicht mit dem Verhältnis der Güterpreise überein. Dieses beträgt 5/4 = 1,25 und zeigt mit einem negativen Vorzeichen die Steigung der Budgetgeraden. Also kann sich der Haushalt bei konstanten Ausgaben 1,25 Einheiten mehr Y leisten, wenn er auf eine Einheit X verzichtet.

Abbildung 5

Abb. 5

Ausgehend von R kann der Haushalt seinen Nutzen steigern, da er das Gut Y am Markt für weniger X eintauschen kann als er bei Indifferenz bereit wäre aufzugeben.

Nun ist in R eine Tangente angelegt, um erkennen zu können, wie der Haushalt die Güter bei Indifferenz gegeneinander tauschen würde. Die blaue Strecke a ist fast fünf mal so lang wie die grüne Strecke b. Also wäre der Haushalt bei Indifferenz bereit, für 1 Einheit Y 5 Einheiten X aufzugeben. Würde er tatsächlich 5 Einheiten X aufgeben, dann könnte er sich dafür 6,25 Einheiten Y kaufen. Bei den herrschenden Marktpreisen kann er also Y gegen X wesentlich günstiger eintauschen als es für Indifferenz notwendig wäre. Eine Einheit Y hätte ihm bereits für Indifferenz gereicht, tatsächlich erhält er 6,25 Einheiten. Konsequenterweise wird er sich auf der Budgetgerade nach oben bewegen, also mehr Y und weniger X konsumieren.

Wem ein Apfel zwei Birnen wert ist, der gibt sicher eine Birne her, wenn er dafür einen Apfel eintauschen kann. Das ist eine Selbstverständlichkeit. Aber es ist - so einfach es sich anhört - der Schlüssel zum Verstehen des Modells.

Während er nun von R in Richtung P "wandert", steigt der Konsum von Y und der von X nimmt ab. Das führt aufgrund des Gesetzes von der abnehmenden Grenzrate der Substitution dazu, dass die Wertschätzung von Y ab- und die Wertschätzung von X zunimmt. Bis der Haushalt den Punkt P erreicht, gilt aber im Prinzip immer die gleiche Überlegung wie im Punkt R: der Haushalt kann die Güter am Markt in einem besseren Verhältnis tauschen als notwendig, um seinen Nutzen konstant zu halten. Im Punkt P selbst kann er die Güter am Markt genau in dem Verhältnis tauschen, das seinen Nutzen konstant hält.

Eine weitere Möglichkeit, sich darüber klar zu werden, warum es sich in Abb. 5 bei R nicht um das Optimum des Haushalts handeln kann, ist folgende: Wenn man auf der Indifferenzkurve von R aus in Richtung S wandert, bleibt der Nutzen konstant. Zugleich begibt man sich aber unter die Budgetgerade. Der Haushalt gibt sein Einkommen also nicht mehr wie in R voll aus. Das bedeutet doch offensichtlich, dass er "sich den gleichen Nutzen für weniger Geld kaufen kann". Dann kann er aber in R unmöglich in einer optimalen Situation gewesen sein. Den in P erreichten Nutzen hingegen kann der Haushalt nicht mit einem geringeren Betrag als seinem gesamten Einkommen "kaufen". Aus P heraus ist demnach keine Verbesserung möglich. Somit ist P optimal. (Diese Argumentation ist eng verbunden mit einer unter dem Stichwort "Duales Problem" bekannten Überlegung: Für das gegebene Nutzenniveau I2 wird bei gegeben Preisen das Einkommen minimiert. Es wird also die geringstmögliche Ausgabe des Haushalts zur Erlangung dieses Nutzenniveaus gesucht. Auch auf diese Art und Weise stellt sich augenscheinlich P als Haushaltsgleichgewicht heraus - und der Augenschein trügt ausnahmsweise einmal nicht.)

Überprüfen Sie, ob Sie mit der Nutzenfunktion U = (XY)0,5 und der notwendigen Bedingung für ein Haushaltsgleichgewicht aus Gleichung [1] das gleiche Ergebnis erhalten wie im Zahlenbeispiel im nebenstehenden Text mit der Nutzenfunktion U=XY.


Bevor Herr K. beschloss abzunehmen, war seine Nutzenfunktion U=3S0.5A0.5, wobei S für Schokolade und A für Äpfel steht. Der Preis für ein kg Schokolade beträgt pS = 4, der Preis für ein kg Äpfel pA 2 EUR. Herr K. gibt jeden Monat 200 EUR für Äpfel und Schokolade aus. Nach seinem Entschluss ist die Nutzenfunktion von Herrn K. U=4S0.25A.
Wieviel kg Schokolade isst Herr K weniger?



Diskutieren Sie (mit Skizzen):

a) Wenn ein Haushalt im Optimum 21 Einheiten des Gutes x und 42 Einheiten des Gutes y verbraucht, dann ist Gut x genau doppelt so teuer wie Gut y.

b) Wenn sich das Einkommen des Haushalts verdreifacht, steigt der Konsum von x auf 63 und der von y auf 126 Ein
heiten

Wer informiert ist, wie man U(x,y) unter der Nebenbedingung E  =  pxx + pyy maximiert, hätte die notwendige Bedingung für ein Haushaltsgleichgewicht auch berechnen können:

[1]      [1]

Für das Interner LinkZahlenbeispiel mit der Nutzenfunktion U = XY erhält man

[2]      [2]

und unter Ausnutzung der Gleichung der Budgetgerade 1000 = 5x + 4y die optimalen Mengen y*=125 und x*=100.

Das wesentliche Ergebnis dieses Abschnitts lautet in zwei Versionen:

Grafisch: Der Haushalt befindet sich im Gleichgewicht, wo die Budgetgerade eine (die höchste) Indifferenzkurve tangiert.

Analytisch: Der Haushalt befindet sich im Gleichgewicht, wenn das Verhältnis der Grenznutzen dem Preisverhältnis der Güter entspricht (s. Gleichung [1]).

 

Dieses Ergebnis ist auch als GlossareintragZweites Gossensches Gesetz (synonym: Equimarginalprinzip, Grenznutzenausgleichsregel, Gesetz vom Ausgleich der gewogenen Grenznutzen, Gossensches Grenznutzenausgleichsgesetz) bekannt.

 

Analytische Bestimmung des Haushaltsoptimums

Die notwendige Bedingung für ein Maximum einer Funktion U(x,y) zweier Variablen

[1][1]

Abbildung 

Abb.

Im Extrempunkt A führen infinitesimale Änderungen der Werte von x und y nicht zu Änderungen des Funktionswertes.

erkennt man graphisch in Punkt A in Abbildung 1 darin wieder, dass marginale Bewegungen parallel zu den Achsen den Funktionswert konstant lassen (das wäre auch im tiefsten Punkt der Zitrone der Fall, also ist die Bedingung nicht hinreichend, sondern nur notwendig, denn sie gilt ja auch im Minimum).

In Punkt B erkennt man hingegen, daß eine Erhöhung des Wertes von y den Funktionswert ansteigen lassen würde. Offensichtlich befindet man sich in B also noch nicht auf dem höchsten Punkt der Zitrone.

Infolge der Budgetrestriktion, die sich wie eine Gerade wie e in der Abbildung darstellt, sind nun aber keine unabhängigen Bewegungen dx und dy möglich. Eine Änderung von x ist über das Verhältnis der Güterpreise (Steigung der Budegetgerade) mit einer entsprechenden Änderung von y verbunden:

[2][2]

[2a][2a]

Graphisch gesehen ist das gleichbedeutend damit, dass man die Zitrone senkrecht über e durchschneidet und den höchsten Punkt der Schnittkante sucht.

Gleichung [2a] in [1] eingesetzt liefert

[3]

oder in Worten: Das Verhältnis der Grenznutzen muß im Haushaltsgleichgewicht mit dem Verhältnis der jeweiligen Güterpreise übereinstimmen (s. a. GlossareintragLagrange-Methode für eine elegantere Methode).

Eine alternative Interpretation ist möglich anhand der grafischen Darstellung von Indifferenzkurve und Budgetgerade (Interner LinkPunkt P in Abb. 4): Auf der Indifferenzkurve ist die Änderung des Nutzens dU ex definitione null. Ihre Steigung kann somit nach [1] angegeben werden als

[4]

Die höchste Indifferenzkurve wird dort erreicht, wo die Budgetgerade eine Indifferenzkurve tangiert. Tangieren können sich Indifferenzkurve und Budgetgerade nur, wenn sie die gleiche Steigung dy/dx besitzen (denn sonst würden sie sich ja schneiden). Die Steigung der Budgetgerade aus [2a] muß also mit der Steigung der Indifferenzkurve aus [4] übereinstimmen:

[5].

Gossens zweites Gesetz im Original

Das Zweite Gossensche Gesetz von Hermann Heinrich Gossen (1810-1858) findet sich - wie natürlich auch das erste - in seinem Hauptwerk "Entwicklung der Gesetze des menschlichen Verkehrs und der daraus fließenden Regeln für menschliches Handeln" aus dem Jahr 1854:

Heute ist es unter diversen Bezeichnungen bekannt: Equimarginalprinzip, Grenznutzenausgleichsregel, Gesetz vom Ausgleich der gewogenen Grenznutzen, Gossensches Grenznutzenausgleichsgesetz.

Klingt es auch etwas antiquiert, bezeichnet es doch genau die Situation, in der die Budgetgerade die höchste  Indifferenzkurve berührt. Allerdings war Gossen noch von der kardinalen Messbarkeit des Nutzens überzeugt, sodass er gemeint hätte, angeben zu können, welcher Nutzenzuwachs entstünde, würde man einen Euro für ein bestimmtes Gut ausgeben. So ließe sich analog, aber etwas moderner als oben, das Zweite Gossensche Gesetz wie folgt formulieren: "Der letzte für das Gut x ausgegebene Euro muß im Haushaltsgleichgewicht denselben Nutzenzuwachs erzeugen wie der letzte für das Gut y ausgegebene Euro."  Wäre das nicht der Fall, dann könnte der Nutzen gesteigert werden, wenn man einen Euro weniger für x und einen Euro mehr für y ausgeben würde (oder umgekehrt). Das erste Gossensche Gesetz stellt dann sicher, wenn es für beide Güter gilt, daß ein Optimum existiert. Ganz formal und für eine beliebige Anzahl an Gütern lässt sich das Zweite Gossensche Gesetz auch so formulieren: "Der Grenznutzen eines jeden Gutes  geteilt durch den Preis dieses Gutes muß für alle Güter übereinstimmen."

Gossen war überzeugt davon, daß die Menschen nur dieser Regel folgen müssten, um das größte Glück zu erlangen. Er wollte seine Regeln als Handlungsanweisung verstanden wissen, maß ihnen die Qualität von Naturgesetzen bei. Wohl auch deswegen, weil er einer der ersten war, der die Mathematik zur Ableitung seiner Ergebnisse unterstützend heranzog. Ohne sie, so Gossen, sei Nationalökonomie gar nicht möglich. Und so man es ausrechnen und damit "beweisen" konnte, musste es ja wohl zweifelsfrei richtig sein, oder!?

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Diese Übungsaufgabe lässt sich durch strikte Anwendung der Originalformulierung des 2. Gossenschen Gesetzes lösen:

Martin Bergmann hat bereits Jura studiert; er bereitet sich derzeit auf das Vordiplom vor. Neben seinem Studium arbeitet B. noch halbtags in einer Anwaltskanzlei, so daß ihm nur 6 Stunden täglich zur Klausurvorbereitung bleiben. Für Recht bereitet er sich natürlich nicht mehr vor. Er ist an einem möglichst guten Vordiplom interessiert, dessen Gesamtnote sich als einfacher Durchschnitt der Einzelnoten berechnet. Er vermutet, daß er bei alternativem Arbeitsaufwand von 100 möglichen Punkten je Klausur folgende Ergebnisse erzielen kann:
   

Wie teilt B. seine sechs Stunden Vorbereitungszeit täglich auf? Wie haben Sie das Ergebnis ermittelt?

 

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