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Der Begriff Interner LinkGrenzumsatz (oder Grenzerlös) wurde im Interner LinkAbschnitt über die direkte Preiselastizität der Nachfrage eingeführt. In der Unternehmung bei vollkommener Konkurrenz ist der Grenzumsatz immer gleich dem Preis, denn jede weitere abgesetzte Einheit lässt den Umsatz jeweils um den Marktpreis ansteigen. Infolge des unbedeutenden Marktanteils wirkt sich die Ausweitung des Absatzes nicht auf den Preis aus.

Achtung!Wir unterstellen die Gültigkeit von Jevons' Gesetz. Der Monopolist verkauft an alle Abnehmer zum gleichen Preis. Alle Verkäufe werden zum gleichen Zeitpunkt abgewickelt. Wenn wir zwei Preise miteinander vergleichen, dann sind das zwei Preise zu unterschiedlichen Zeitpunkten (und nicht etwa unterschiedliche Preise für verschiedene Konsumenten zur gleichen Zeit)!

In der Monopolunternehmung sieht das anders aus. Zwar lässt eine weitere abgesetzte Einheit den Umsatz über den Mengeneffekt ansteigen, zugleich aber drückt die größere Absatzmenge den Preis nach unten, wodurch ein negativer Preiseffekt entsteht. Für den Umsatz des ür jede andere Unternehmung auch

[1]      U = p.

Die Veränderung des Umsatzes kann angegeben werden mithilfe des totalen Differenzials

[2]      dU = dp.x + p.dx 

Der erste Term auf der rechten Seite in Gleichung [2] zeigt den Preiseffekt: die Veränderung des Preises dp multipliziert mit der abgesetzten Menge x. Der zweite Term zeigt den Mengeneffekt: die Veränderung der Menge dx multipliziert mit dem Preis p. In Abbildung 1 sind diese beiden Effekte als Flächen zu erkennen. Die Differenz der Flächen entspricht der Veränderung des Umsatzes dU, in der Abbildung sinkt der Umsatz also infolge der Ausweitung des Absatzes von x1 auf x2 um zwei "Kästchen".

Abbildung 1

Veränderung des Umsatzes durch einen Preis- und einen Mengeneffekt bei Erhöhung der Absatzmenge von x1 auf x2. Hier überwiegt der Preiseffekt, so dass der Umsatz von 20 "Kästchen" auf 18 "Kästchen" sinkt.
[Maussensitives Bild: Erklärung s. Text.]

Um einem häufigen Einwand vorzubeugen, sei darauf hingewiesen, dass  Gleichung [2] nur für kleine ("infinitesimale") Änderungen gilt. Aus der Abbildung erkennt man:

[3]      dU = dp.x1 + dx.p2

Genau genommen wird die Veränderung des Umsatzes zwar mit der Menge der Ausgangssituation x1, aber nicht mit dem Preis der Ausgangssituation  p1 berechnet. Um den Fehler zu ermitteln, den man mit [2] macht, wird dx.p1 zu [3] addiert und gleich wieder subtrahiert:

[4]      dU = dp.x1 + dx.p2 + dx.p1 -  dx.p1

[5]      dU = dp.x1  + dx.p1 -  dx.p1 + dx.p2

[6]      dU = dp.x1  + dx.p1 +  dx(p2 - p1)

[7]      dU = dp.x1  + dx.p1 +  dx.dp

Der Unterschied gegenüber der Berechnung mit [2] beträgt also dx.dp. Wenn dx klein ist, wird aber auch die dadurch ausgelöste Preisänderung dp klein sein, so dass dx.dp getrost vernachlässigt werden kann, wenn die Änderungen nicht allzu groß sind. Wenn Sie die Maus über die Abbildung bewegen, wird dx.dp als rote Fläche gezeigt. 

Abbildung 2

Abb. 2

Umsatz- und Grenzumsatzfunktion: Von einer linearen Preis-Absatz-Funktion unterscheidet sich die Grenzumsatzfunktion nur durch die verdoppelte Steigung.

Ausgehend von einer linearen Preis-Absatz-Funktion soll nun die Grenzerlös- oder Grenzumsatzfunktion ermittelt werden. Zunächst wird die Umsatzfunktion aus den Flächen für alternative Preis-Mengen-Kombinationen unter der Preis-Absatz-Funktion  konstruiert. Dazu wird das entsprechende Diagramm aus dem Interner LinkAbschnitt über die direkte Preiselastizität der Nachfrage herangezogen (Animation Interner LinkNeues Fenster). Im Unterschied dazu sind in Abbildung 2 die beiden Teildiagramme allerdings vertauscht: Die Umsatzfunktion ist nun im oberen Diagramm zu sehen. Außerdem wird die Nachfragefunktion nun Preis-Absatz-Funktion genannt.   

Zur grafischen Bestimmung des Grenzumsatzes, der der Steigung der Umsatzfunktion entspricht, sind im oberen Teildiagramm 3 rote Hilfslinien eingezeichnet, an denen man deutlich erkennt, wie der Grenzumsatz zunächst positiv, dann null und anschließend negativ wird. Der Umsatz ist offensichtlich maximal, wenn der Grenzumsatz null ist (notwendige Bedingung).

Außerdem macht die Abbildung deutlich, dass kein Monopolist im Bereich negativer Grenzumsätze anbieten wird. Jeden Umsatz, den man in diesem Bereich erzielen kann, kann man auch mit geringerem Absatz erzielen. Ein geringerer Absatz bedeutet aber eine kleinere Produktionsmenge, so dass bei gleichem Umsatz die Kosten vermindert werden können. Also wird der Monopolist nur im Bereich positiver Grenzumsätze anbieten. Mit anderen Worten:

Der Monopolist bietet nur im elastischen Bereich an.

Das folgt unmittelbar aus der Interner LinkAmoroso-Robinson-Relation , die die Grenzumsätze in Abhängigkeit von der direkten Preiselastizität der Nachfrage zeigt. Nur wenn |Ex,p| > 1 ist, ist der Grenzumsatz positiv. Zudem sei noch einmal daran erinnert, dass die Interner LinkUmsätze maximal sind, wenn Ex,p=-1. Dieses Ergebnis konnte hergeleitet werden, ohne eine spezifische Gestalt der Preis-Absatz-Funktion anzunehmen. Es gilt also generell. Das trifft auch auf die Aussage

die Grenzumsätze sind immer kleiner als der Preis

zu, was einfach eine Folge davon ist, dass die Ausweitung des Absatzes den Preis fallen lässt. Der Absatz kann eben nur bei fallendem Preis ausgedehnt werden.

AnzeigenWarum kann man fast sicher davon ausgehen, dass die direkte Preiselastizität der Nachfrage negativ ist?

Sonst handelte es sich um den extrem unwahrscheinlichen Fall eines Interner LinkGiffen-Gutes.

Den Beweis, dass die Grenzumsätze immer unter dem Preis liegen, liefert der  Wert des Klammerausdrucks in der Amoroso-Robinson-Relation. Man kann mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit einen positiven Wert der direkten Preiselastizität der Nachfrage ausschließen. Also ist der Klammerausdruck kleiner als eins und die Aussage bewiesen. Allerdings muss sie für einen Grenzfall eingeschränkt werden. Wenn die Elastizität gegen (minus) unendlich geht, stimmen Grenzumsatz und Preis überein. Das beschreibt aber gerade den Fall vollkommener Konkurrenz. Dieser Aspekt wird im Rahmen der Messung der Monopolmacht Interner Linkwieder aufgegriffen.

Wenn die Preis-Absatz-Funktion eine Gerade ist, muss auch die Grenzumsatzfunktion eine Gerade sein.

Außerdem schneidet die Grenzumsatzfunktion bei einer linearen Preis-Absatz-Funktion die Abszisse immer bei der halben Sättigungsmenge xS.

Mit a als Achsenabschnitt und b als Steigungsmaß lässt sich die Preis-Absatz-Funktion schreiben als

[8]      p = a - b.x .

Der Umsatz ist somit gegeben durch

[9]      U = p.x = ax - bx2,

so dass für den Grenzumsatz GU (erste Ableitung der Umsatzfunktion)

[10]    GU = a - 2bx

sofort abgelesen werden kann, dass der Ordinatenabschnitt a mit dem der  Preis-Absatz-Funktion übereinstimmt und die Steigung mit -2b doppelt so steil ausfällt. Wer sich das eingeprägt, kann sich zukünftig die Berechnung der Grenzumsatzfunktion sparen - jedenfalls wenn die Preis-Absatz-Funktion eine Gerade ist. 

AnzeigenBestimmen Sie das Umsatzmaximum für einen Monopolisten mit der Preis-Absatz-Funktion p=200/x2.
Der Umsatz (U = 200/x) nimmt mit steigendem Preis immer weiter zu. Es handelt sich um eine Randlösung bei x = 0.

Hätte der Monopolist keine Kosten ("Mineralwassermonopol"*), wäre sein Gewinnmaximierungsproblem bereits gelöst: Dehne die Produktion aus, bis der Grenzumsatz gleich null ist. Diese Aussage gilt nicht nur für eine lineare Preis-Absatz-Funktion, sondern allgemein. Allerdings wäre noch die hinreichende Bedingung für ein Umsatzmaximum zu beachten. Die Grenzumsätze  müssen fallen.

 

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