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Dieser Abschnitt stellt mit einer limitationalen Produktionsfunktion das genaue Gegenteil von dem an den Anfang, was seiner Überschrift nach zu erwarten wäre. Abbildung 1 zeigt einen Prozessstrahl für einen Produktionsprozess, von dem Folgendes angenommen sei: Mit Hilfe von Kapital K und Arbeit L wird ein Produkt X erzeugt. Technologisch bedingt müssen Kapital und Arbeit im Verhältnis 1:2 eingesetzt werden. Zur Produktion je einer Einheit X sind 2 Einheiten Kapital und 4 Einheiten Arbeit notwendig.

Abbildung 1

Abb. 1

Prozessstrahl einer linear limitationalen Produktionsfunktion.

Punkt P in der Abbildung zeigt die Produktion von 1 X, Punkt Q entspricht der Produktion von 2 X. Dass nicht nur die beiden Punkte dargestellt sind, sondern eine durchgehende Linie eingezeichnet ist, zeigt an, dass auch nicht ganzzahlige Mengen von X herstellbar sind (R in Interner LinkAbb. 2 zeigt die Produktionsmenge 1,5 X).

Eine Produktionsfunktion heißt limitational, wenn ein Faktor zwingend notwendig ist, um die Produktionsmenge zu erhöhen - also nicht durch einen anderen Faktor ersetzt werden kann.

Der Faktor limitiert die Produktion. Formal kann man eine limitationale Produktionsfunktion angeben als

[1]       [1].

Setzen Sie die Werte des Beispiels in Gleichung [1] ein und prüfen Sie die Behauptung nach.

Wenn Sie den Operator "min" nicht kenn, verwenden Sie den Rechner Rechner (aus dem Menu am linken Rand) und tippen Sie min(8/2,8/4) ein. Machen Sie sich durch Ausprobieren, indem Sie einen der Werte ändern, mit der Funktion vertraut

mit den Parametern a und b, die GlossareintragInputkoeffizienten heißen. Diese geben an, welche Menge eines Faktors je Produkteinheit bei effizienter Produktion erforderlich ist. Im Beispiel ist der Inputkoeffizient a des Kapitals 2 und der Inputkoeffizient b der Arbeit 4. Wenn 8 Einheiten Kapital und 8 Einheiten Arbeit zur Verfügung stünden, ließen sich 2 X herstellen. Arbeit wäre in diesem Fall der limitierende Faktor, 4 Einheiten Kapital kämen nicht zum Einsatz.

Produktionsfunktionen, die sich wie in Gleichung [1] schreiben lassen, heißen GlossareintragLeontief-Produktionsfunktionen. Sie sind durch zwei Eigenschaften gekennzeichnet: Limitationalität und Linearität.

Eine Produktionsfunktion ist linear, wenn eine Ver-x-fachung aller Faktoreinsätze zu einer Ver-x-fachung des Outputs führt.

Auf diesen Aspekt geht der Abschnitt Interner LinkSkalenerträge näher ein. Die Limitationalität der Produktionsfaktoren bewirkt, dass ihr Einsatzverhältnis nicht von den Faktorpreisen abhängt (ein Kfz benötigt eine Windschutzscheibe - wenn diese günstiger oder teurer werden, werden deswegen nicht mehr oder weniger davon eingebaut). Leontief-Produktionsfunktionen kommen in den Wirtschaftswissenschaften recht häufig zum Einsatz, da sie infolge ihrer Linearität mit Hilfe der Matrixalgebra einfach zu handhaben sind (z. B. in der die Externer LinkVolkswirtschaftliche Gesamtrechnung unterstützenden Input-Output-Rechnung oder bei der Produktionsprogrammplanung, um auch ein Beispiel aus der Betriebswirtschaftslehre zu nennen).

In Abbildung 2 ist mit dem durch Punkt R gekennzeichneten Faktoreinsatz die Produktion von 1,5 Einheiten X möglich. Die blaue in R rechtwinklig abknickende Kurve I zeigt weitere Kombinationen der Faktoren, mit denen 1,5 Mengeneinheiten X hergestellt werden könnten. Bis auf die Kombination R sind aber alle Faktorkombinationen auf dieser Isoquante ineffizient. Im waagerechten Teil ist Kapital der limitierende Faktor, im senkrechten Teil Arbeit.

Abbildung 2

Abb. 2

Isoquante einer limitationalen Produktionsfunktion.

Eine GlossareintragIsoquante - sie ist das Gegenstück zur Indifferenzkurve in der Haushaltstheorie - zeigt alle effizienten Faktormengenkombinationen, die zu einem gleich hohen Produktionsergebnis führen.

Die Isoquante in Abbildung 2 schrumpft also eigentlich auf den Punkt R zusammen - es ist (im vorliegenden Fall einer limitationalen Produktionsfunktion) jedoch anschaulicher, auch die ineffizienten Bereiche anzuzeigen. Natürlich könnte man auch für die Punkte P oder Q oder für jeden beliebigen anderen Punkt eine Isoquante einzeichnen. Wie Indifferenzkurven in der Haushaltstheorie füllen sie das gesamte Diagramm aus, zeigen aber im Unterschied zu diesen mit der Produktionsmenge eine beobacht- und messbare Größe.

In Abbildung 3 ist angenommen, dass ein zweiter Prozess für die Produktion des Gutes X existiert, der als Prozess 2 eingezeichnet ist. Er kann beschrieben werden durch

[2]      [2]

Die eingezeichneten Punkte S und T zeigen also die Produktionsmengen 1 bzw. 2 X an.

Abbildung 3

Abb. 3

Zwei Produktionsprozesse mit unterschiedlichen Faktorintensitäten. Prozess 1 ist relativ arbeits-, Prozess 2 relativ kapitalintensiv.

Wenn zwei Prozesse existieren, verschwindet die Limitationalität, denn es ist jetzt z. B. möglich, Kapital und Arbeit im Verhältnis 1:1 zu beschäftigen. Abbildung 4 zeigt, wie 2 X bei diesem Faktoreinsatzverhältnis hergestellt werden können. 1 X wird im Prozess 1 und 1 X im Prozess zwei hergestellt, sodass insgesamt 6 Einheiten Arbeit und 6 Einheiten Kapital eingesetzt werden.

Abbildung 4

Abb. 4

Kombination zweier limitationaler Produktionsprozesse.

Wie man aus dem Parallelogramm in Abbildung 4 erkennt, liegt der Punkt X, der die Produktionsmenge 2 anzeigt, auf der Verbindungsgeraden der beiden Punkte T und Q, die in den Prozessen 1 und 2 jeweils die Produktionsmenge 2 anzeigen. Alle Punkte auf dieser Verbindungsgeraden zeigen Kombinationen der beiden Prozesse, die zu dem gleichen Produktionsergebnis von 2 X führen. Abbildung 5 zeigt ein Beispiel, in dem Prozess 1 relativ intensiv genutzt wird: 0,5 X werden mit Prozess 2 und 1,5 X mit Prozess 1 hergestellt.

Abbildung 5

Abb. 5

Es entsteht ein substitutionaler Prozess. Die Isoquante ist rot eingezeichnet. Die Punkte X und Y zeigen dieselbe Produktionsmenge bei unterschiedlichen Faktorkombinationen.
[Maussensitives Diagramm]

Da die Produktionsmenge auf der roten Verbindungsgerade konstant ist, handelt es sich bei ihr um eine Isoquante. Wenn man sich auf ihr vom Punkt T hin zum Punkt Q bewegt, ändert sich die GlossareintragKapitalintensität der Produktion - das Einsatzverhältnis von Kapital und Arbeit k=K/L - von k=2 auf k=1/2. Bei gleicher Produktionshöhe wird also Kapital gegen Arbeit substituiert. TQ zeigt somit eine Isoquante für eine begrenzt substitutionale Produktion; begrenzt deswegen, weil die beiden Faktoren nicht vollkommen gegeneinander substituiert werden können.

Es bietet sich an, anhand Abbildung 5 zu überlegen, unter welchen Umständen ein Produzent sich für Prozess 1, Prozess 2 oder eine Kombination von beiden entscheiden würde. Angenommen eine Einheit Kapital ist teurer als eine Einheit Arbeit, dann wäre Prozess 1 offenbar am günstigsten. Umgekehrt, also wenn Arbeit teurer wäre, würde der kapitalintensive Prozess 2 gewählt. Nur wenn beide Faktoren je Einheit gleich teuer wären, kämen alle Prozesse gleichermaßen in Frage.

Andere Produktionsfunktionen zeigen andere Isoquantenverläufe. Eine der bekanntesten und in der Mikro- wie Makroökonomie (und auch in der betriebswirtschaftlichen Produktionstheorie) sehr häufig verwandte Produktionsfunktion ist die nach Cobb und Douglas benannte GlossareintragProduktionsfunktion (deren Funktionstyp auch oft - so wie hier geschehen - aufgrund ihrer einfachen Handhabbarkeit als Nutzenfunktion in der Haushaltstheorie zum Einsatz kommt), die sie zwar nicht "erfunden", aber populär gemacht haben. Die Cobb-Douglas-Funktion hat die allgemeine Form

[3]       [3]

Dabei ist c ein Effizienzparameter, der aber verzichtbar ist, da man X entsprechend normieren kann. Die Funktion besitzt die hübsche Eigenschaft, dass die Parameter a und b mit den partiellen Interner LinkProduktionselastizitäten des Kapitals und der Arbeit übereinstimmen.

 

[4]       [4]

Die Produktionsfunktion laute X = K0,5L0,5.

Berechnen Sie, wie viel X Sie mit 5 K und 20 L erzeugen können.

Wenn Sie es nicht im Kopf lösen können, verwenden Sie den Rechner Rechner und geben Sie 5^0.5*20^0.5 ein.

In Abbildung 6 ist die Produktionsfunktion am Zahlenbeispiel X = K0,5L0,5 dargestellt. Wenn je 10 Einheiten Kapital und Arbeit eingesetzt werden, werden 10 X hergestellt. Die Isoquante für diese Produktionsmenge ist hervorgehoben. Die Abbildung zeigt, dass es sich bei den Isoquanten um "Isohöhenlinien des Produktionsgebirges" handelt. Der vorn in der Abbildung grün zu erkennende Schnitt durch das Produktionsgebirge zeigt eine GlossareintragErtragskurve bei partieller Faktorvariation für einen bei K=20 konstant gehaltenen Kapitaleinsatz.

Abbildung 6

Abb. 6

"Produktionsgebirge" für eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Abbildung 7 zeigt diese Ertragskurve bei partieller Faktorvariation (im Unterschied zu Abb. 6 nicht mehr maßstabsgetreu). Man erkennt in ihr die Eigenschaften einer neoklassischen Produktionsfunktion. Die Grenzerträge sind positiv und abnehmend. Die partielle Produktionselastizität liegt unter 1.

Abbildung 7

Abb. 7

Ertragskurve bei partieller Faktorvariation für eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion mit abnehmender Grenzproduktivität

Abbildung 8 zeigt das Produktionsgebirge "aus der Vogelperspektive". Die "Isohöhenlinien" erscheinen als Isoquanten.

Abbildung 8

Abb. 8

Das Produktionsgebirge aus Abbildung 6 von oben betrachtet: Isoquantenschema einer substitutionalen Produktionsfunktion (schematische Darstellung).

 

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